VOLUMEN

Volumen de un Solido de Revolucion Parte 1:

Mientras que la física estudia la magnitud que informa sobre la extensión de un cuerpo en relación a tres dimensiones (alto, largo y ancho) llamada volumen; la matemática desarrolla el análisis de comportamiento de de las curvas que generan tales cuerpos mediante el estudio de la actuación de estás en los planos.

En este caso hablaremos del estudio de volúmenes de aquellos cuerpos que se generan al girar la una curva sobre un eje predispuesto, ya sea uno de los ejes cartesianos o una recta paralela a ellos llamados comúnmente como sólidos de revolución; los métodos para el estudio de estas figuras se separan por casos en su mayoría, y varían medianamente según el eje que se tome para el análisis.

Tales métodos implican la implementación de la sumatorias n-simales de secciones diferenciales de las funciones de las curvas a girar en el eje, ya sea usando la relación entre ellas o entre ellas y el eje, dependiendo del caso,

Antes de tocar estos métodos y su explicación, debemos saber que tales formulas derivan de las formulas generales del volumen de un cilindro, donde el volumen es igual al producto del área de la sección transversal (A) por la altura(h).

Conociendo que el área transversal de un cilindro es un circulo, podemos decir que su volumen es la fórmula del área de una circulo que es Πx(radio (r))^2 x altura(h)

En el caso donde el cilindro generado tiene una superficie irregular demarcada por el comportamiento de una curva F(x) en el intervalo [a,b], la cual actua como el radio del solido; la fórmula para el volumen es modificada, ya que el área de la sección transversal varia por el comportamiento de F(x) al girar en torno a un eje lo cual hace del Area una función donde el area de entiende como A(x), se recurre a dividir en “n” Secciones(Si), de igual ancho Δx, la extensión total del sólido en el intervalo que va desde x=a hasta x=b, formando intervalos de muestreo X*i en [Xi-1,Xi], los cuales nos permiten tener valores más aproximados de las secciones, proporcionando para cada sección la formula mas aproximada a su volumen tomando como el area A(X*i) y como altura el grosor Δx.

Sabiendo lo anterior es fácil deducir la siguiente parte, en la cual procederemos a hacer la sumatoria de todos los volúmenes aproximados evaluados en Si

Mientras más acerquemos n → ∞ y reducimos el grosor Δx mas se aproxima al valor real del volumen; por ello podemos definir el volumen como el límite de esta sumatoria donde n → ∞, reconociendo que este límite se trata de una suma de Riemann por tanto entendemos que es una integral definida

METODO DE DISCO

En este caso cuando la curva gira alrededor del eje(x) y se corta con él o con una recta perpendicular a este generando un sólido macizo, de la siguiente manera

La anterior formula aplica para cuando se gira al rededor del eje x, pero que pasaria si desearamos girarlo en torno al eje(y), ¿el volumen seria el mismo?m ¿se crearía la misma figura?, la respuesta es no, por ello la formula varia en su variable y en el estudio que hacemos de la sigiente manera: