LEY DE HOOKE:

En el caso anterior observamos el desarrollo de la teoría necesaria para entender y aplicar las formulas y materiales necesarios para conseguir el Trabajo realizado en una acción cuando la acción de fuerza es variable en un intervalo determinado, en este revisaremos una parte sencilla y corta de o que es trabajo, como preámbulo a un tema un tanto más complicado y de análisis un tanto mas complejo en el siguiente post.

Esta vez hablaremos sobre la Ley de Hooke, la cual se utiliza para obtener el trabajo realizado al aplicar una fuerza a un resorte para estirarlo de su longitud natural a una longitud x más allá de su longitud normal, fuerza sería proporcional a una función de x donde:

Acá “k” es llamado constante del resorte (es positiva siempre y va ligada a la resistencia del material del que está hecho el resorte) esta se cumplirá si y solo si x no es demasiado grande.

Es común encontrar ejercicios donde hay que calcular la “k” antes de proceder a calcular el trabajo realizado lo cual sería un despeje de la función de fuerza donde:

pensando en que la fuerza es una función de x, podemos usar una integración para encontrar una aproximación mas exacta al valor real del trabajo realizado por lo que usamos la siguiente formula:

Volumen de un Solido de Revolucion Parte 2:

En el anterior post tratamos de la teoría básica para la implementación de la integración definida en el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución y su estudio, además de conceptos básicos y fundamentales para entender la manera en la que trabajan las formulas usadas en tales análisis.

METODO DE ARANDELA:

Anteriormente tratamos el caso de un sólido generado al girar una curva F alrededor de alguno de los ejes coordenados, pero, qué pasaría si en vez de una curva fueran curvas F y Q en torno a la alguno de los ejes, esto recurriría a las formulas anteriormente contadas pero tomando en cuenta 2 condiciones, 1 el radio (r) de la ecuación para el volumen seria la diferencia del radio más amplio menos el radio más angosto, llamándolo en muchos casos Radio mayor (Rm) y radio menor (rm), de tal modo que la ecuación del volumen se desarrollaría asi

al menos con respecto a al Eje “x” el comportamiento seria tomar como F(x) al Radio mayor que estaría representado como la curva más alejada del eje de giro y como Q(x) a la curva mas cercana al eje de giro, usamos como en el anterior método tomamos un diferencial dX, perpendicular al eje de giro:

Mientras que con respecto a al Eje “y” el comportamiento seria tomar como F(y) al Radio mayor que estaría representado como la curva más alejada del eje de giro y como Q(y) a la curva más cercana al eje de giro, usamos como en el anterior método tomamos un diferencial dy, perpendicular al eje de giro:

En el siguiente post tendremos como tema método de capas, y ejemplos de cómo usar cada método, además de algunos métodos y casos especiales del cálculo de volúmenes.

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TRABAJO

TRABAJO PARTE 1:

En física y mecánica clásica, el Trabajo es entendido como la relación entre una fuerza aplicada sobre un objeto, y  la distancia que este recorre al ser aplicada la fuerza, este representa la energía usada para generar el desplazamiento del objeto,

Esta  implica la relación donde la fuerza  F se genera de una relación entre el Peso (muchas veces llamado masa m) del objeto  por la  aceleración de este, lo que equivaldría a que la fuerza de aplicada a un objeto (tomando en cuenta que se desplaza en línea recta con función posición s(t)) seria:

(F): es la Fuerza aplicada

(m): se toma como el Peso del objeto

{[d^2(s)]/(dt)^2}: es la aceleración

Esta fórmula es aplicable cuando hay una aceleración constante; conociendo, previamente, la magnitud de la fuerza  y sabiendo que es constante, podría verse como la siguiente formula donde:
(W): es el trabajo realizado
(F): es la Fuerza aplicada
(d): es la distancia recorrida

Ok, estas formulas son aplicables siempre y  cuando la fuerza sea constante, pero, ¿funcionaria si la fuerza fuera variable? Probablemente no, al menos no la gran mayoría de las veces, por lo tanto, gracias a los conocimientos heredados de riemann, tenemos una solución a estos casos, tomando la dirección  del movimiento en un eje X en la dirección positiva, en un intervalo  desde X=a hasta X=b, donde sobre cada X entre a y b actúa una fuerza variable F(x) que es una función continua, y dividiendo el intervalo cerrado entre a y b en "n" subintervalos con extremos X0, X1, X2,…,Xn de igual ancho delta X, tomamos un punto de muestra Xi en el i- esimo intervalo [Xi-1, Xi], sabiendo que mientras más dividamos el intervalo [a,b] delta X será más pequeño y sabiendo que F(x) es continua los valores de F(x) son casi constantes en  los intervalos [Xi-1,Xi]  por lo tanto el trabajo de desplazar la particula desde Xi-1  hasta Xi se podría decir que el trabajo (W) en i es aproximadamente F(Xi)*ΔX.

Por tanto podríamos decir que el trabajo (W) total seria aproximadamente igual a la sumatoria de de cada F(Xi)*ΔX , desde i=1 hasta i=n

Como  la aproximación es mejor mientras mas incrementamos a n, definimos que el trabajo de mover el objeto desde a hasta b como el limite de esta cantidad cuando n → ∞, teniendo esto, nos damos cuenta que se cumple una suma de riemann la cual tiene como límite una integral definida, por lo tanto:

VOLUMEN

Volumen de un Solido de Revolucion Parte 1:

Mientras que la física estudia la magnitud que informa sobre la extensión de un cuerpo en relación a tres dimensiones (alto, largo y ancho) llamada volumen; la matemática desarrolla el análisis de comportamiento de de las curvas que generan tales cuerpos mediante el estudio de la actuación de estás en los planos.

En este caso hablaremos del estudio de volúmenes de aquellos cuerpos que se generan al girar la una curva sobre un eje predispuesto, ya sea uno de los ejes cartesianos o una recta paralela a ellos llamados comúnmente como sólidos de revolución; los métodos para el estudio de estas figuras se separan por casos en su mayoría, y varían medianamente según el eje que se tome para el análisis.

Tales métodos implican la implementación de la sumatorias n-simales de secciones diferenciales de las funciones de las curvas a girar en el eje, ya sea usando la relación entre ellas o entre ellas y el eje, dependiendo del caso,

Antes de tocar estos métodos y su explicación, debemos saber que tales formulas derivan de las formulas generales del volumen de un cilindro, donde el volumen es igual al producto del área de la sección transversal (A) por la altura(h).

Conociendo que el área transversal de un cilindro es un circulo, podemos decir que su volumen es la fórmula del área de una circulo que es Πx(radio (r))^2 x altura(h)

En el caso donde el cilindro generado tiene una superficie irregular demarcada por el comportamiento de una curva F(x) en el intervalo [a,b], la cual actua como el radio del solido; la fórmula para el volumen es modificada, ya que el área de la sección transversal varia por el comportamiento de F(x) al girar en torno a un eje lo cual hace del Area una función donde el area de entiende como A(x), se recurre a dividir en “n” Secciones(Si), de igual ancho Δx, la extensión total del sólido en el intervalo que va desde x=a hasta x=b, formando intervalos de muestreo X*i en [Xi-1,Xi], los cuales nos permiten tener valores más aproximados de las secciones, proporcionando para cada sección la formula mas aproximada a su volumen tomando como el area A(X*i) y como altura el grosor Δx.

Sabiendo lo anterior es fácil deducir la siguiente parte, en la cual procederemos a hacer la sumatoria de todos los volúmenes aproximados evaluados en Si

Mientras más acerquemos n → ∞ y reducimos el grosor Δx mas se aproxima al valor real del volumen; por ello podemos definir el volumen como el límite de esta sumatoria donde n → ∞, reconociendo que este límite se trata de una suma de Riemann por tanto entendemos que es una integral definida

METODO DE DISCO

En este caso cuando la curva gira alrededor del eje(x) y se corta con él o con una recta perpendicular a este generando un sólido macizo, de la siguiente manera

La anterior formula aplica para cuando se gira al rededor del eje x, pero que pasaria si desearamos girarlo en torno al eje(y), ¿el volumen seria el mismo?m ¿se crearía la misma figura?, la respuesta es no, por ello la formula varia en su variable y en el estudio que hacemos de la sigiente manera: